%% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0


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\input{tcilatex}

\begin{document}


{\small Document 428\vspace{1pt}}

\begin{center}
\textbf{Una curiosa propriet\`{a} dalle parabole cubiche}

\vspace{1pt}Enrico Pontorno

\vspace{1pt}
\end{center}

\begin{quotation}
\vspace{1pt}\textbf{Abstract}

By means a sophisticated word processor for ``doings mathematics'' you study
an odd property of polynomial curves of third degree. This is helpful to the
use of computer laboratory in math teaching.
\end{quotation}

\begin{center}
\rule{3in}{0.01in}
\end{center}

Sia data la cubica di equazione $y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Dimostriamo
innanzitutto che il punto d'inflessione della cubica \`{e} centro di
simmetria per la stessa. Dall'analisi delle derivate 
\[
f^{\prime }(x)=\allowbreak 3ax^{2}+2bx+c,\quad f^{\prime \prime
}(x)=\allowbreak 6ax+2b,\quad f^{\prime \prime \prime }(x)=\allowbreak 6a 
\]
si deduce che il punto di coordinate 
\[
F\left( -\frac{1}{3}\frac{b}{a},\quad \frac{2}{27a^{2}}b^{3}-\frac{1}{3}c%
\frac{b}{a}+d\right) 
\]
\`{e} l'unico punto di flesso della curva. La traslazione che porta
l'origine degli assi in F ha quindi equazioni 
\[
\left\{ 
\begin{array}{l}
x=X-\frac{1}{3}\frac{b}{a} \\ 
y=Y+\frac{2}{27a^{2}}b^{3}-\frac{1}{3}c\frac{b}{a}+d%
\end{array}
\right. 
\]
per cui l'equazione della curva diventa 
\[
Y+\frac{2}{27a^{2}}b^{3}-\frac{1}{3}c\frac{b}{a}+d=\allowbreak aX^{3}-\frac{1%
}{3}X\frac{b^{2}}{a}+\frac{2}{27a^{2}}b^{3}+cX-\frac{1}{3}c\frac{b}{a}+d 
\]
e, semplificando, 
\[
Y=aX^{3}-\left( \frac{1}{3}\frac{b^{2}}{a}-c\right) X 
\]
La funzione dotata della precedente equazione \`{e} evidentemente dispari.
Nel seguito, faremo riferimento ad una curva di equazione della forma 
\[
y=f(x)=ax^{3}+bx. 
\]

Ci proponiamo di dimostrare che:

La tangente in ogni punto P di una parabola cubica incontra ulteriormente la
parabola stessa in un altro punto Q. Condotta ancora la tangente in Q, essa
delimita con la curva una porzione di piano \textbf{B} la cui area \`{e}
pari a 16 volte l'area della superficie \textbf{A} delimitata dalla curva e
dalla tangente in P (Fig. 1).

\vspace{1pt}\FRAME{dtbpFU}{4.5152in}{2.8539in}{0pt}{\Qcb{Figura 1}}{}{%
pontfig1.png}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display
"PICT";valid_file "F";width 4.5152in;height 2.8539in;depth
0pt;original-width 481.8125pt;original-height 239.375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'pontfig1.png';file-properties
"XNPEU";}}

Sia $P(x_{0},\,ax_{0}^{3}+bx_{0})$ un punto della curva. Essendo $f^{\prime
}(x)=\allowbreak 3ax^{2}+b$ la tangente in P sar\`{a} 
\[
y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}), 
\]
cio\`{e} 
\[
y=(3ax_{0}^{2}+b)x-2ax_{0}^{3} 
\]
Dal sistema tra questa e l'equazione della curva si ottiene 
\[
ax^{3}-3ax_{0}^{2}x+2ax_{0}^{3}=0 
\]
le cui soluzioni sono $\left\{ x=-2x_{0}\right\} ,\allowbreak \left\{
x=x_{0}\right\} ,\allowbreak \left\{ x=x_{0}\right\} $; pertanto l'ulteriore
intersezione sar\`{a} il punto $Q(-2x_{0},-8ax_{0}^{3}-2bx_{0})$.

In $Q$ la tangente avr\`{a} equazione 
\[
y-f(-2x_{0})=f^{\prime }(-2x_{0})(x+2x_{0}), 
\]
cio\`{e} 
\[
y=(12ax_{0}^{2}+b)x+16ax_{0}^{3} 
\]

Dal sistema tra questa e l'equazione della curva si ottiene 
\[
ax^{3}-12ax_{0}^{2}x-16ax_{0}^{3}=0, 
\]
le cui soluzioni sono $\left\{ x=4x_{0}\right\} ,\allowbreak \left\{
x=-2x_{0}\right\} ,\allowbreak \left\{ x=-2x_{0}\right\} $; pertanto
l'ulteriore intersezione sar\`{a} il punto 
\[
R(4x_{0},64ax_{0}^{3}+4bx_{0}). 
\]

L'area compresa tra la tangente PQ e la curva \`{e} data dall'integrale
definito 
\[
\left| \int_{-2x_{0}}^{x_{0}}\left( 3ax_{0}^{2}x+bx-2ax_{0}^{3}-f(x)\right)
dx\right| =\allowbreak \frac{27}{4}\left| ax_{0}^{4}\right| 
\]
e, analogamente, l'area compresa tra la curva e la tangente QR sar\`{a} 
\[
\left| \int_{-2x_{0}}^{4x_{0}}\left(
12ax_{0}^{2}x+16ax_{0}^{3}+bx-f(x)\right) dx\right| =\allowbreak 108\left|
ax_{0}^{4}\right| 
\]

Pertanto il loro rapporto sar\`{a} 
\[
\left| \frac{\int_{-2x_{0}}^{4x_{0}}\left(
12ax_{0}^{2}x+16ax_{0}^{3}+bx-f(x)\right) dx}{\int_{-2x_{0}}^{x_{0}}\left(
(3ax_{0}^{2}+b)x-2ax_{0}^{3}-f(x)\right) dx}\right| =\allowbreak 16 
\]
che \`{e} quanto volevamo dimostrare.

Si perviene allo stesso risultato in maniera pi\`{u} celere considerando che
l'area $S$ in questione, per una data curva, \`{e} funzione dell'unica
variabile $x_{0}$, ascissa del punto di tangenza. Detta 
\[
S_{A}=S(x_{0})=Kx_{0}^{4} 
\]
l'area della superficie A in figura, sar\`{a} 
\[
S_{B}=S(2x_{0})=K(2x_{0})^{4}=\allowbreak 16Kx_{0}^{4}=16S_{A}. 
\]

In margine alle suddette considerazioni vogliamo provare per altra via la
relazione tra l'ascissa del punto P di tangenza e quella dell'ulteriore
punto d'intersezione Q: 
\[
x_{Q}=-2x_{P}. 
\]
Le ascisse dei punti d'intersezione di una qualsiasi retta di equazione $%
y=mx+q$ con la curva $f(x)=ax^{3}+bx$ sono le soluzioni dell'equazione 
\[
ax^{3}+bx-mx-q=0. 
\]

Se vogliamo che una intersezione rappresenti il punto di tangenza
l'equazione deve avere una radice di molteplicit\`{a} 2 
\[
ax^{3}+(b-m)x-q=a(x-x_{P})^{2}(x-x_{Q})= 
\]
\[
=ax^{3}+\left( -2ax_{P}-ax_{Q}\right) x^{2}+\left(
ax_{P}^{2}+2ax_{P}x_{Q}\right) x-\allowbreak ax_{P}^{2}x_{Q} 
\]
Per il principio d'identit\`{a} dei polinomi si avr\`{a} 
\[
\left\{ 
\begin{array}{l}
-2ax_{P}-ax_{Q}=0 \\ 
b-m=ax_{P}^{2}+2ax_{P}x_{Q} \\ 
q=ax_{P}^{2}x_{Q}%
\end{array}
\right. 
\]
dalla prima delle quali si ricava 
\[
x_{Q}=-2x_{P} 
\]
e, successivamente, $m=b+3ax_{P}^{2}$ e $q=-2ax_{P}^{3}$, relazioni gi\`{a}
trovate in precedenza.\bigskip

Bibliografia

\begin{enumerate}
\item L. C. Larson, \textit{Problem Solving Through Problems}, New York
1983.\bigskip
\end{enumerate}

Questo articolo \`{e} stato composto, compresi calcoli e figure, con \textbf{%
Scientific WorkPlace} versione 2.5 (\textbf{SWP}). Si tratta di un
elaboratore testi orientato alla produzione di testi o articoli di carattere
scientifico, dove abbondano caratteri, simboli, formule tipiche del lessico
matematico. Una volta scritto, il documento viene salvato in formato TEX, pi%
\`{u} precisamente nel ''dialetto'' LATEX, che \`{e} diventato ormai lo
standard nella produzione di pubblicazioni scientifiche. Per i calcoli e i
grafici \textbf{SWP} si avvale del ''motore'' MAPLE V versione 3.0 o di 
\textit{Mathematica} versione 2.x, nel senso che, tramite links, \`{e}
possibile richiamare le librerie di uno o l'altro dei noti programmi di
calcolo simbolico. L'uso da parte dell'utente, \`{e} assolutamente semplice;
se, ad esempio, si vuole il grafico di una funzione in coordinate cartesiane
si scrive l'espressione della stessa in modalit\`{a} matematica, si pone il
cursore a destra dell'espressione e dalla voce \textbf{Maple} del men\`{u}
si sceglie l'opzione \textbf{Plot 2D}$\rightarrow $Rectangular e il grafico
della funzione compare sulla pagina; successivamente \`{e} possibile
modificarne le caratteristiche, aggiungervi grafici di altre funzioni e
altro. Con la stessa facilit\`{a} si possono risolvere equazioni, sistemi di
equazioni o calcolare integrali e derivate, per rimanere nell'ambito della
matematica ''scolastica''. Con un comando di tipo toggle si passa dal modo
testo (Control-T) al modo matematico (Control-M); i caratteri scritti in
quest'ultima modalit\`{a} compaiono a video in rosso. Utile risulta la
possibilit\`{a} di definire funzioni, cosicch\`{e} \`{e} possibile, ad
esempio, fare riferimento alle derivate di una funzione $f(x)$ utilizzando
gli usuali simboli $f^{\prime }(x),\;f^{\prime \prime }(x),\;f^{\prime
\prime \prime }(x)...$, che vengono correttamente riconosciuti e calcolati
da \textbf{SWP}.

All'apertura di un nuovo documento \`{e} possibile scegliere tra una variet%
\`{a} di ''stili'' predefiniti che riguardano i criteri d'impaginazione, la
suddivisione in paragrafi ecc...\.{E} anche possibile, tramite un programma
di supporto (Style Editor) costruire degli stili personalizzati.

Il programma \`{e} dotato di una serie completa di ''toolsbar'' contenenti
simboli matematici, alfabeto latino e greco (maiuscolo e minuscolo), frecce,
simboli di uso comune, tali da soddisfare qualunque esigenza tipografica.
(Fig. 2)

\vspace{1pt}\FRAME{dtbpFU}{6.6945in}{4.5524in}{0pt}{\Qcb{Figura 2}}{}{%
pontsch.png}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display
"USEDEF";valid_file "F";width 6.6945in;height 4.5524in;depth
0pt;original-width 481.8125pt;original-height 270.25pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'pontsch.png';file-properties
"XNPEU";}}

Il programma \`{e} distribuito in un CD contenente le versioni per Windows
3.11, Windows 95 e Windows NT. \.{E} stata da poco rilasciata la versione
per MAC. Installando anche la versione ipertestuale dei manuali, il
programma occupa circa 90 Mb; per un uso ottimale richiede, come si pu\`{o}
facilmente immaginare, macchine dotate di generose dotazioni di RAM e spazio
libero su disco, ma \`{e} stato usato anche su un 386 con 8 Mb di RAM in
maniera del tutto soddisfacente. La difficolt\`{a} di tradurre il LATEX in
un ambiente ''amichevole'' si evidenzia in una certa rigidit\`{a} nell'uso
degli stili, ma l'uso ''normale'' \`{e} sicuramente piacevole.

In conclusione un programma impegnativo (anche dal punto di vista del
prezzo) ma di sicuro valore didattico, sia dal punto di vista della
produzione di articoli, dispense o addirittura manuali, ma anche nella
stesura pi\`{u} quotidiana di compiti in classe e relative soluzioni, e
comunque in tutte quelle situazioni in cui l'insegnante vuole mettere per
iscritto, e magari in bella forma, quanto ha da dire. Da non sottovalutare
la possibilit\`{a} di utilizzare \textbf{SWP} come ''lavagna'' per preparare
lezioni al computer, grazie alle funzioni \textbf{External Program Call} e 
\textbf{Hypertext Link}. La manualistica, ovviamente (purtroppo!) in
inglese, appare piuttosto stringata.

Questa breve presentazione di \textbf{SWP} non esaurisce certamente tutte le
caratteristiche del programma, assai vaste e articolate. Esso comprende
anche un database per bibliografie, un previewer per file DVI e altre
sofisticate utility. Mi sono limitato a descrivere le possibilit\`{a} di
utilizzo in ambiente scolastico, cos\`{\i} come io stesso le ho sperimentate.

\begin{itemize}
\item \textbf{Scientific WorkPlace} \`{e} un marchio della TCI Software
Research, Las Cruces, New Mexico, distribuito in Italia da Teoresi, Torino

\item \textbf{MAPLE V} \`{e} un marchio della Waterloo Maple Software,
distribuito in Italia da Teoresi, Torino.

\item \textit{Mathematica} \`{e} un marchio della Wolfram Research Inc.,
distribuito in Italia da SciSoft, Torino.

\item \textbf{Windows} \`{e} un marchio della Microsoft Corporation.
\end{itemize}

\vspace{1pt}

Enrico Pontorno

Liceo Ginnasio Statale ''C.\ MARCHESI''

ODERZO\ (TV), tel. e fax 0422/712317

pontorno@brezza.iuav.unive.it

\end{document}
